NASTRINI E PERLINE (Cat. 7, 8, 9, 10) CARMT.2006 - 14° –
II prova
Alice gioca spesso con nastrini e perline forate. Ogni volta prende un nastrino, vi fa un nodo, infila nel nastrino un certo numero di perline colorate e, alla fine, fa un secondo nodo per impedire alle perline di uscire.
Oggi Alice ha infilato due nastrini utilizzando per ciascuno di essi perline bianche e perline azzurre. Osservando bene il suo lavoro, Alice si accorge che in ciascuno dei due nastrini:
- ha usato lo stesso numero totale di perline;
- ha sempre fatto precedere e seguire ogni perlina bianca da almeno due perline azzurre;
- non ha mai messo più di tre perline azzurre consecutive.
Alice nota però che in uno dei nastrini ha usato due perline azzurre in più rispetto all'altro.
Qual è il numero minimo di perline che Alice può aver utilizzato per ciascuno dei suoi nastrini?
Spiegate il vostro ragionamento.
Tranquilli , il problema è stato già risolto brillantemente dai miei alunni di II Media, durante una prova del concorso Rally Matematico Transalpino al quale partecipiamo ogni anno e dove devo dire, le mie classi riescono a piazzarsi con onore.
SOLUZIONE PRATICA
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Logica: capacità di tenere sotto controllo più condizioni, formulazione di ipotesi, ragionamento deduttivo
Analisi del compito
- Comprendere le regole di costruzione dei due nastrini di perline
- Tenere presente che si cerca di ottenere due nastrini aventi il minimo numero totale possibile di perline (lo stesso per
entrambi), uno dei quali con due perline azzurre in più rispetto all’altro.
- Capire che in un nastrino occorre infilare perline azzurre (A) e perline bianche (B) con una regola che minimizza
l’uso delle perline azzurre, ovvero:
AABAABAABAA.....
e che, invece, per l’altro nastrino è necessario usare una regola che massimizza l’uso delle perline azzurre, ovvero:
AAABAAABAAA......
- Rendersi conto che, con le regole precedenti, dopo aver infilato in entrambi i nastrini 11 perline, nel secondo ce ne
sarà una azzurra in più. Poiché le due costruzioni sono periodiche (di rispettivamente 3 e 4 perline), due perline
bianche si trovano simultaneamente ogni 12 perline (mcm fra 3 e 4). Le perline bianche si troveranno insieme dopo
24 perline e, dunque, la prima volta che i due nastrini completi avranno una differenza di due perline azzurre è al
momento in cui ciascuno avrà 23 perline. (Le regole di costruzione dei due nastrini garantiscono che 23 è il numero
cercato.) 
Oppure: Procedere per tentativi (utilizzando schemi o disegni di nastrini e perline) ed arrivare alla soluzione per
aggiustamenti successivi, per esempio con un conteggio sistematico delle perline e costruendo i due nastrini
contemporaneamente.
totale
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
primo nastrino
A A B A A B A A B A A B A A B A A B A A B A A
n. azzurre
1 2 2 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 10 10 11 12 12 13 14 14 15 16
secondo nastrino
A A A B A A A B A A A B A A A B A A A B A A A
n. azzurre
1 2 3 3 4 5 6 6 7 8 9 9 10 11 12 12 13 14 15 15 16 17 18
Risposta corretta:
23, e ben argomentata, che giustifica trattarsi del minimo numero possibile
Livello: 7, 8, 9, 10
Origine: Siena
La soluzione messa in pratica
Che cosa ne pensate !!!!
Bravi no !!!!!!
e poi si dice che in Italia la scuola non funziona e che i nostri studenti non sono preparati !!!!!!!!!!!!!
Con la “SOLUZIONE” ho creato una collana
Ciao !
